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CAPITOLO
1
Elementi di logica proposizionale e regole d’inferenza
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a
p
e a
q
; infatti non possiamo asserire «~
q
3
~
p
» ovvero «se non vinci allora non
giochi
»
, poiché si può benissimo giocare e non vincere; non possiamo dire che “
non
si dà
il
caso
che
giochi
e non
vinci
”, poiché accade che si può giocare e non vincere,
come si diceva in precedenza, ma è anche possibile che si giochi e si vinca. Possiamo
però affermare: «se non giochi allora non vinci» ossia «~
p
3
~
q
» e, a questa im-
plicazione, applicando la regola di contrapposizione, possiamo affermare: «
q
3
p
»
ossia «se vinci allora giochi», vale a dire, «se vinci allora hai giocato». In conclusione
nell’implicazione «se giochi allora vinci»: «
p
3
q
»
l’antecedente
p
esprime
la
condi-
zione necessaria e non
sufficiente del
conseguente
q
,
cioè “è necessario giocare se si
vuole vincere, ma giocare non è sufficiente per essere sicuri di vincere”.
c
) Simbolizziamo «Questo poligono ha sei lati uguali» =
p
«Questo poligono è un esagono regolare» =
q
la funzione implicativa sarà: «
p
7
q
»
In questo caso, vi è un doppio senso della freccia; ci troviamo, infatti, di fronte ad
una doppia implicazione che prende il nome di
equivalenza materiale
: «
p
3
q
e
q
3
p
»
ossia «Se questo poligono ha sei lati, allora questo poligono è un esagono regolare e
se questo poligono è un esagono regolare, allora questo poligono ha sei lati uguali».
In altre parole, dire: «questo poligono ha sei lati uguali» equivale a dire: «
l’esagono
regolare
è un poligono di
sei
lati uguali
».
In conclusione
l’antecedente
p
esprime
la
condizione
necessaria
e
sufficiente
del
conseguente
q
.
Possiamo seguire più approfonditamente la questione studiando la matrice dell’
equi-
valenza materiale
di seguito riportata.
1.1.6
•
L’equivalenza materiale
Siano
p
e
q
proposizioni che stanno per:
p
=
«Giuseppe
canta»
;
q
=
«è
una
giornata
di
sole»
.
Utilizzando il connettivo «se e solo se» abbiamo la funzione dell’
equivalenza materiale
«Giuseppe canta se e solo se è una giornata di sole».
Risaliamo alla matrice di questa funzione, come in (S
6
).
p q
p
7
q
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
(S
6
)
Esaminiamo le quattro combinazioni.
Nel primo caso, è vero che «Giuseppe canta», è vero che «è una giornata di sole»,
perciò asserire: «Giuseppe canta se e solo se è una giornata di sole» è vero, in corri-
spondenza del connettivo «
7
» scriviamo
1
.