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Capitolo 1
Gli insiemi
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Si dà inoltre la seguente definizione:
Due insiemi
A
e
B
si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune.
➤
Gli insiemi
A
= {2, 3, 7} e
B
= {
a
,
b
} sono disgiunti, mentre gli insiemi
C
= {1, 2, 3} e
D
= {2, 3, 4} non lo sono.
1.4 Operazioni con gli insiemi
1.4.1 s
ottoinsiemi di un
insieme
Dati due insiemi
A
e
B
, se ogni elemento di
B
è anche elemento di
A
, si dice che
B
è un sottoin
sieme di
A
.
Si dice anche che “
B è contenuto o incluso in A
” e, per indicare ciò, si scrive:
B
⊆
A
Questa situazione si può anche esprimere dicendo che “
A contiene B
”, scrivendo:
A
⊇
B
I simboli
⊆
,
⊇
si chiamano
simboli di inclusione.
La rappresentazione grafica di
B
⊆
A
è data dalla seguente figura:
B
A
Se risulta
A
⊆
B
e
A
≠
B
, si dice che
A
è
strettamente incluso
in
B
, e si scrive:
A
⊂
B
Il simbolo
⊂
è detto di
inclusione stretta
.
Come secondo esempio, supponiamo che
A
sia l’insieme degli alunni di una data classe.
La proprietà di “
avere il cognome che comincia per M
” determina un certo insieme
B
che ri
sulta essere un sottoinsieme di
A
.
Se avvenisse che tutti gli allievi di quella classe avessero il cognome che comincia con la let
tera
M
, allora l’insieme
B
non sarebbe altro che l’insieme
A
stesso.
Ebbene anche in questo caso, si continua a dire che
B
, ossia
A
, è un sottoinsieme di
A
; in al
tre parole:
fra i sottoinsiemi di
A
si considera
A
stesso.
Però, può anche accadere che nessun alunno di quella classe abbia il cognome che cominci
con la lettera
M
. In tal caso, l’insieme
B
è un insieme
privo di elementi
. Ebbene, in questo
caso, l’insieme
B
è detto
insieme vuoto
e si definisce insieme che non contiene alcun elemen
to. Esso si indica con il simbolo Ø, oppure con il simbolo { }.
Si conviene di considerare l’insieme vuoto come sottoinsieme di ogni insieme.
Si chiama
insieme singolo
, o
insieme unitario
,
un insieme formato da un solo elemento
, e si indi
ca, per esempio, con {
a
}; tale insieme non va confuso con l’unico elemento
a
, che gli appartiene.