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Indice

XIX

6.4.9 Calcolo di derivate .....................................................................................495

6.4.10 Punti di discontinuità della derivata .........................................................498

6.4.11 Derivate di ordine superiore .....................................................................501

6.4.12 Differenziale ...............................................................................................502

6.5 Calcolo differenziale e studio di una funzione di variabile reale....................... 503

6.5.1 Teorema di Rolle, Cauchy e Lagrange......................................................503

6.5.2 Condizioni sulla monotonia di una funzione ..........................................507

6.5.3 Massimi e minimi assoluti di una funzione ..............................................508

6.5.4 Estremo inferiore ed estremo superiore ..................................................508

6.5.5 Massimo e minimo relativo........................................................................510

6.5.6 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo e assoluto ....................511

6.5.7 Condizioni su concavità e punti di flesso .................................................515

6.5.8 I teoremi di l’Hopital.................................................................................517

6.5.9 Asintoti di una funzione ............................................................................520

6.5.10 Studio del grafico di una funzione ...........................................................522

6.6 Il problema della misura....................................................................................... 530

6.6.1 Introduzione...............................................................................................530

6.6.2 La misura di Peano-Jordan ........................................................................530

6.6.3 La misura di Vitali-Lebesgue .....................................................................536

6.7 Integrazione indefinita ......................................................................................... 538

6.7.1 Definizioni ..................................................................................................538

6.7.2 Regole di integrazione...............................................................................540

6.7.3 Metodi risolutivi per integrali di frazioni algebriche...............................546

6.8 Integrazione definita............................................................................................. 551

6.8.1 Somma inferiore e somma superiore .......................................................551

6.8.2 Dalle somme all’integrale di Riemann .....................................................553

6.8.3 Le somme di Cauchy-Riemann .................................................................554

6.8.4 Funzioni integrabili....................................................................................556

6.8.5 Proprietà degli integrali definiti ...............................................................557

6.8.6 Teoremi sull’integrazione definita............................................................558

6.9 Integrali impropri ................................................................................................. 563

6.9.1 Caso di un intervallo semi-aperto .............................................................563

6.9.2 Caso di un intervallo aperto ......................................................................564

6.9.3 Caso generale: funzione generalmente continua

su un intervallo limitato o illimitato .........................................................565

6.10 Calcolo di volumi di solidi di rotazione............................................................... 566

6.11 Lunghezza di una curva ed area della superficie di rotazione........................... 568

6.12 Serie numeriche .................................................................................................... 571

6.12.1 Definizioni ..................................................................................................571

6.12.2 Serie a termini positivi, a termini di segno alterno

e a termini qualunque ...............................................................................573

6.12.3 La serie geometrica....................................................................................574

6.12.4 Resto di una serie .......................................................................................575

6.12.5 Teoremi generali sul carattere delle serie ................................................577

6.13 Criteri di convergenza delle serie a termini positivi ........................................... 578

6.13.1 Premessa .....................................................................................................578

6.13.2 Criterio del confronto con l’integrale (Cauchy) .....................................578